Ensino de matemática

Contas de cabeça? Sim, as crianças conseguem

Há poucos anos, crianças aprendiam a somar e a subtrair com um algoritmo: elas punham um número em cima do outro e faziam a conta dígito a dígito. Não é mais assim

Matemática é difícil”, diz um dos pais a uma das crianças numa ocasião. “Eu nunca gostei de matemática e acho que você vai ser como eu”, diz em outra ocasião. “Presta atenção hoje, porque você tem aula de matemática”, diz em outra ainda. Entre pais, frases como essas são comuns. Elas revelam um pai ou mãe preocupados com o desempenho da criança na escola, diante da matéria que condena as crianças ao atraso. Os pais pensam e agem assim, em parte, por culpa do modo como a aritmética era ensinada no passado (e ainda é ensinada): centrado em algoritmos, em contas de armar. O professor mostra como armar a conta e ensina as várias regras passo a passo. A criança repete mecanicamente o algoritmo. Ela obtém o resultado — mas, como revela a atitude moderna dos pais, a criança não aprende direito. Há mudanças à vista. Hoje, em muitas escolas, os estudantes das primeiras séries aprendem adição e subtração primeiro com técnicas mentais, e só depois partem para os métodos com lápis e papel.

Para a psicopedagoga Lia Zaia, da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), o método da repetição mecânica dos ensinamentos torna a matemática uma disciplina árida, que exige apenas memorização e mecanização de procedimentos. “Ora, tudo o que depende exclusivamente da memória acaba sendo esquecido”, diz Lia. Com o passar do tempo, a pessoa precisará de espaço na memória para outras coisas, e aí o que memorizou no passado distante vai para o arquivo morto. Lia diz que não há problema nenhum com as crianças, mas há vários problemas com a escola. “Ela não sabe respeitar e incentivar os processos naturais de construção de conhecimentos. Por isso tanta gente não gosta de matemática.”

Lia pertence ao grupo de estudos Edumat, do Laboratório de Psicologia Genética da Unicamp, que busca compreender os processos de aprendizagem da matemática e, para isso, estuda como as estruturas mentais das operações lógicas e aritméticas se desenvolvem na mente das crianças. Embora não seja formada em matemática, ela é mestre e doutora em educação, especializada em psicologia educacional, e se dedica a estudar não só por que as crianças aprendem, mas também por que elas não aprendem. “Atendo crianças que não aprendem, em geral matemática, mas que não têm nenhum problema físico ou neurológico que explique isso.” Com o que descobre na pesquisa com crianças, ela ajuda professores do ensino fundamental a testar novos métodos de ensino — “especialmente os métodos da matemática”.

Madeline Gurgel Maia, especialista no treinamento de professores do ensino fundamental, diz que os professores dificultam a vida das crianças porque apresentam uma matemática distante da vida cotidiana. Os algoritmos são difíceis de entender, para uma criança, e para piorar ela não consegue se ver retratada nos exemplos do professor. O professor fala em 15 maçãs menos 8 maçãs para crianças que quase nunca comem ou repartem maçãs. Deveria ser o contrário. “Os conceitos matemáticos nas séries iniciais precisam ser trabalhados de forma a despertar o interesse da criança”, diz Madeline. “Senão ela não aprenderá.” Talvez o professor contra-argumente: existem conceitos matemáticos difíceis de ligar a algo real, cotidiano. “Claro que sim”, diz Madeline. “Mas, nas séries iniciais, isso não existe. Todos os conceitos são relacionáveis ao dia a dia da criança.”

“A matemática continua a mesma de sempre, mas os métodos de ensino mudaram”

Kátia Stocco Smole, da USP

A conta armada

Quando uma escola começa as aulas de aritmética com os métodos mentais (ou as contas de cabeça, que é o nome popular), ela quer evitar a aversão à matemática. As crianças fazem adições, subtrações, multiplicações e divisões de cabeça — sem nenhuma ajuda de papel ou bolinhas ou cubinhos. Isso obriga a criança a criar uma estratégia para resolver o problema, o que resulta numa criança capaz de entender o que está fazendo. José Luiz Pastore Mello, mestre em matemática pela Universidade de São Paulo (USP), professor de matemática do Colégio Santa Cruz, um colégio tradicional da cidade de São Paulo, diz que há quase um consenso entre pedagogos: comece a aritmética com as contas de cabeça. “O que não implica dizer que os métodos associados à conta armada devam ser abandonados”, diz José Luiz. “Pode-se dizer que um método complementa o outro e que, portanto, ambos devem ser explorados na formação matemática da criança.”

Quando justificam os métodos mentais, quase todos os professores de matemática citam a conhecida história do matemático alemão Carl Friedrich Gauss. Quando ele tinha dez anos de idade (ou nove, ou oito, conforme a versão), o professor pediu à classe que somasse todos os números de 1 a 100. Diz a lenda que o professor queria apenas uns minutos de sossego; para uma criança, somar 1 com 2 com 3 … com 100 é uma tarefa formidável. Elas deveriam se ocupar com isso a aula toda. Gauss, contudo, veio com a resposta certa em minutos.

 

Quando uma escola começa as aulas de aritmética com os métodos mentais, ela quer evitar a aversão à matemática


Gauss pensou assim: e se eu colocar os números de 1 a 100 em ordem crescente? 1, 2, 3, 4, …, 97, 98, 99, 100? E se, embaixo desses números, eu colocar os números de 1 a 100 em ordem decrescente? 100, 99, 98, 97, …, 4, 3, 2, 1? O jovem Gauss logo notou que, se ele somasse 1 com 100, teria 101. Se somasse 99 com 2, teria 101. Se somasse 98 com 3, teria 101. Então, ele percebeu que, se adicionasse os pares de números, um em cima e o outro embaixo, ele teria 101, 101, 101, 101… Se ele somasse o resultado, 101 + 101 + 101 + 101, ele teria 100 vezes 101. Essa é uma conta fácil de fazer de cabeça: dá 10.100. Mas aí, notou Gauss, ele teria somado cada número duas vezes. Então, o resultado certo é 10.100 dividido por 2, que dá 5.050. Pronto. Segundo dois professores ingleses, Rob Eastaway e Mike Askew, essa história prova que compensa pensar a respeito do cálculo antes de executar um algoritmo padrão.

 

1 2 3 4 5
100 99 98 97 96
101 101 101 101 101



Gauss era um gênio e se transformou num matemático famoso; ninguém espera nem exige que as crianças façam igual. A expectativa de Eastaway e Askew e de todos os adeptos dos cálculos mentais é: as crianças devem fazer a si mesmas várias perguntas sobre as contas. “Há um modo rápido e eficiente de fazer essa conta em vez de aplicar algum método do professor?” Muitas adições e subtrações, dizem Eastaway e Askew, mesmo com números grandes e complicados, podem ser realizados com mais rapidez e, às vezes, com mais exatidão usando só a mente.

Pensamento flexível

O professor Rodrigo Lopes de Oliveira por vários anos deu aulas para alunos do ensino fundamental (hoje, dá aulas no ensino médio), e viu esse fenômeno ocorrer na prática, com crianças comuns, sem a genialidade de Gauss. Ele até escreveu um capítulo de livro sobre sua experiência com alunos de uma classe de 5ª série, do Colégio Jean Piaget, em Jundiaí (SP). O capítulo se chama E o Amargo Vira Doce: Fazendo Contas de Cabeça, parte do livro Histórias de Aulas de Matemática: Compartilhando Saberes Profissionais, que está disponível na internet.

Nas aulas, Rodrigo pedia às crianças que fizessem várias contas de cabeça. Uma delas foi 35 − 17. “Nesse caso”, diz Rodrigo, “ficou evidente a grande vantagem que um pensamento mais flexível tem sobre o algoritmo convencional usado na subtração. Não quero dizer que esse algoritmo seja maléfico ou prejudicial aos alunos. Quero dizer que ele não ajuda no cálculo mental, seja ele exato ou apenas uma estimativa. Quando os alunos fizeram 5 − 7 e perceberam a necessidade de emprestar um, aí começaram as dificuldades.”

As dificuldades só aumentaram. Os alunos sabiam que não dava para tirar 7 de 5, pois 5 é menor que 7; sabiam que precisavam aplicar algum truque. Eles não lembravam que truque era esse, ou então eles aplicaram truques que não valiam para essa situação específica. Embora a maioria dos alunos tenha obtido sucesso no resultado, a quantidade de insucessos em relação a exercícios anteriores mais fáceis aumentou consideravelmente. “E quem se saiu melhor, ou seja, quem foi mais rápido e exato?” pergunta Rodrigo. “Aqueles que tiveram formas mais flexíveis de pensamento.” Um dos alunos fez 35 menos 10, que dá 25; 25 menos 5, que dá 20; e 20 menos 2, que dá 18. Outro recorreu a um raciocínio perfeito: é só fazer 34 menos 17, que dá 17, e depois adicionar 1 ao resultado.

 

Problemas comuns com os métodos mentais

1. Contar de um em um, para a frente ou para trás, quando há jeitos mais fáceis. Por exemplo: para somar o número 9 ao número 21, a criança conta nos dedos e diz 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30. Teria sido mais fácil somar 10 a 21, e depois tirar 1, ou somar 9 a 20, e depois somar 1.

2. Pegar o lápis e ir direto para o papel para calcular dois números que, com um pouquinho de raciocínio, é mais fácil calcular de cabeça. Exemplo: 138 + 199. É a mesma coisa que somar 140 com 200 e tirar 3.

3. Pensar que a subtração é só tirar, quando ela também é achar a diferença, ou seja, comparar.

4. Pensar que é impossível tirar um número maior de um número menor, como 5 − 9.

Talvez sem se dar conta, esse aluno tenha demonstrado que a subtração nem sempre é o contrário da adição, como pensa a maioria dos pais. Como lembram Eastaway e Askew, a coisa é um pouco mais complicada, pois, conforme o contexto, uma subtração pode significar outras coisas. “Ela pode envolver tirar, achar a diferença e até adicionar.” Proponha um problema a qualquer criança pouco habituada a métodos mentais: se você tiver 201 castanhas, e tirar 196, com quantas castanhas você fica? Várias crianças vão ver nesse problema uma difícil operação de tirar. Mas algumas crianças talvez vejam, sozinhas, o verdadeiro problema: que número eu devo acrescentar a 196 para chegar a 201? Dá para contar com os dedos: o número cinco.

Um grupo de sábado

Outro exemplo semelhante vem das experiências de Rodrigo no Colégio Jean Piaget. Durante uma aula, em 2003, ele lançou a pergunta: “Se nasci em 1968, quantos anos tenho?” No capítulo que escreveu para o livro Histórias de Aulas de Matemática, ele lembra o contexto em que a questão foi proposta. “Neste dia eu apresentei várias situações cuja solução envolvia adição ou subtração. Eram frases curtas e rápidas, que exigiam a decisão de qual operação deveria ser executada e em seguida a execução desta operação.”

 

Os trios de números

Para a criança ficar boa em contas mentais, ela precisa se familiarizar com os trios de números. A tábua da adição na Cálculo 3, pág. 26, mostra os trios mais importantes. Se, por meio de atividades e jogos, a criança aprende que 5 + 6 = 11, que 6 + 5 = 11, que 11 − 5 = 6, que 11 − 6 = 5, que 5 − 11 = −6 e que 6 − 11 = −5, ela vai aprender que 5, 6 e 11 formam um trio do barulho. Mais tarde, ela vai achar mais fácil resolver, de cabeça, 55 + 36, porque 50 mais 30 dá 80, e 5 mais 6 dá 11, então tudo isso dá 91.


Os números envolvidos nas situações propostas por Rodrigo eram da ordem de centenas ou de milhares. Para encontrar a resposta, a maioria das crianças usou algum algoritmo de subtração para fazer a conta 2003 − 1968. Mas um aluno pensou diferente. Ele disse: “De 1968 até 1970 tem 2, de 1970 até 2000 tem mais 30, ou seja, 32 até agora, e até 2003 tem mais 3; então você tem 35 anos.” Rodrigo diz que esse aluno causou um alvoroço na classe. “Nessa estratégia está a ideia de completar um número até chegar a outro. Os alunos gostaram de perceber que isto era possível de ser feito e acharam muito interessante o fato de resolver uma conta de menos por meio de uma conta de mais. Assim, enquanto quase todos fizeram 2003 − 1968, um aluno fez 2 + 30 + 3. Precisei dar mais algumas subtrações para que eles resolvessem desta forma e verificassem que sempre dava certo.”

Para realizar essa experiência com a turma da 5ª série, ele contou com a ajuda do Grupo de Sábado: é um grupo de estudos, que se reúne uma vez a cada 15 dias, formado por professores de matemática e por pesquisadores da Unicamp. O grupo discute novas técnicas e métodos de ensino de matemática, faz testes, compartilha resultados práticos. Antes do grupo, Rodrigo não dava importância a assuntos como os métodos mentais. “Não me lembro de ter discutido sobre isso em nenhuma oportunidade durante minha graduação”, diz Rodrigo. “E só tinha pensado sobre isso quando me deparava com atividades correlatas encontradas em livros didáticos. Confesso: eu pulava essas atividades por achá-las desnecessárias.”

 

A única coisa que realmente não cabe à família é a transmissão do saber sistematizado da humanidade.


Depois que aceitou o cargo no Colégio Jean Piaget, no entanto, o conhecimento sobre o assunto se tornou uma necessidade. Por isso, pediu aos amigos do Grupo de Sábado sugestões de livros e de atividades que pudessem ajudá-lo em classe. “Recebi uma vasta bibliografia que ia desde história da matemática, passando por atividades com materiais concretos e até algoritmos alternativos usados em cálculos, sejam eles mentais ou escritos, exatos ou estimados.” Como retorno, ele discutia com o grupo os resultados obtidos em sala de aula.

Hoje, os cálculos mentais são cada vez mais comuns nas escolas. “Embora ainda predominem o lápis e o papel, eles estão aparecendo com mais frequência nos livros didáticos e, talvez por isso, na prática pedagógica dos professores das séries iniciais”, diz Madeline. “Eles estão sendo forçados a focar seu trabalho neste outro método.” Para Lia, da Unicamp, as vantagens dessa estratégia estão justamente na possibilidade de a criança refletir sobre os dados de um problema, pensar e decidir como solucioná-lo, de que maneira agrupar as quantidades para facilitar a conta, comparar com outras formas possíveis que outras crianças utilizaram.

A linha vazia de números

As pesquisas mostram que a criança aprende a fazer contas de cabeça se ela faz contas com papel e lápis, mas usando a linha vazia de números. A figura ao lado mostra três dessas linhas. A criança escreve no topo da página a conta a ser feita. Depois, ela desenha a linha vazia logo abaixo. E depois ela vai dando saltos na linha vazia e anotando os resultados parciais, até chegar ao resultado final. O raciocínio vai mais ou menos assim: “54 mais 23 é 54 mais 20, que dá 74, e então mais 3, que dá 77. 117 menos 49… Vamos fazer primeiro 117 menos 10. Dá 107.

Menos 7, para arredondar em 100. Já tirei 17. Quanto falta tirar? 49 menos 17 é o mesmo que 49 menos 10, que dá 39, e depois menos 7, que dá 32. Falta tirar 32 de 100. 100 menos 30 dá 70. Agora só falta tirar 2: dá 68.”

Com a linha vazia, a criança vai montando a estratégia e, como ela anota os resultados parciais, ela não se perde. Basta ir sem pressa. Se as pesquisas estiverem certas, a criança nunca vai se esquecer de como usar uma linha vazia, nem quando ela já tiver 60 anos.

Placas de carros

Então qual é o papel dos pais nessa história toda? Para Lia é incentivar a criança a pensar, a inventar suas próprias estratégias, a resolver as situações e problemas a seu modo. Os pais devem fazer perguntas que ajudem a criança a achar o caminho, mas não devem lhe dizer que algo está certo ou errado. “É aceitar que a criança erre, dar-lhe tempo para tentar, acertar, errar, tentar novamente, buscar uma forma melhor, sem ansiedade e sem pressa”, diz Lia. “Sei que às vezes isso é difícil, porque os pais ficam ansiosos. É importante acreditar que elas chegarão a aprender.”

Kátia Stocco Smole, doutora em educação pela Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo (Feusp), especializada no ensino de ciências e matemática, ressalta outro aspecto importante do papel dos pais. “Em primeiro lugar os pais devem evitar ensinar do seu jeito”, diz Kátia. Assim como muita coisa mudou na engenharia e na medicina, muita coisa mudou na educação. Kátia dá consultoria para escolas e órgãos públicos — ela sabe do que fala. “A matemática continua a mesma de sempre, mas as tecnologias da educação e os modos pelos quais ensinamos matemática mudaram desde 20 anos atrás. Se um pai ensina do jeito dele, vai atrapalhar mais do que ajudar.”

Para um pai ou mãe, o melhor jeito de ajudar é brincar de matemática com as crianças. Elas adoram jogos e desafios. Vamos ver quem acha a maior soma com os números numa placa de carro? Eu vou dizer um número: vamos ver quanto tempo você leva para me dizer o dobro desse número? Vamos contar quantos círculos a gente vê nas ruas, e vamos ver quantos triângulos, e vamos ver qual é a diferença entre o número de círculos e de triângulos? Além disso, diz Kátia, os pais não devem perder a chance de falar de matemática ao resolver problemas do dia a dia: o relógio, a feira, o supermercado, a nota fiscal, a planta do apartamento, a receita de bolo. “Isso chama a atenção das crianças para o uso da matemática no cotidiano”, diz Kátia. “Isso aumenta o valor da matemática aos olhos das crianças.”